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il legame : Caos
di venises , Sun 11 March 2012 4:00
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Abbiamo sostenuto che la capacità di previsione è la caratteristica determinante della scienza moderna.
Affinché i nostri testi abbiano una qualche utilità ed interesse per i nostri lettori, dobbiamo ora - noi stessi - distruggere tale slogan.

Premessa
Il modello ideale della prevedibilità nella scienza è costituito dalla modellizzazione della cinematica classica attraverso le equazioni differenziali ad opera dell'italiano (e non francese, prego) Lagrange.
Se si conoscono le condizioni iniziali ad un istante dato di tutte le particelle, si può prevedere con esattezza totale l'evoluzione dell'intero universo.
Attenzione: nella scienza, questo paradigma è durato esattamente solo 175 anni (dal 1788, anno di pubblicazione della Mécanique Analytique, al 1963, anno di pubblicazione dell'articolo Deterministic Nonperiodic Flow di Lorenz); nella testa dei più dura ancora (le superstizioni attecchiscono facilmente e sono dure a morire. Colpa nostra: siamo noi i giardinieri).
Tale paradigma è stato attaccato - in modo fondamentalmente difettoso - dalla meccanica quantistica. L'argomento (bacato) della meccanica quantistica è che non si può conoscere esattamente quello che le equazioni di Lagrange richiedono che si debba conoscere per prevedere il futuro (cioè le condizioni iniziali).
Ovviamente, non è questo il punto fondamentale della visione "lagrangiana" ma l'assioma (implicito: diffidate dei sottintesi, non c'è posto per costoro nella scienza) del determinismo: che il mondo sia deterministico.
Ovvero, detto più esplicitamente: che una macchina deterministica produrrà risultati deterministici.
Sembra ovvio, ma siccome nella scienza o una cosa è dimostrata o non esiste (perché è una superstizione), è su questo assioma che la ricerca avrebbe dovuto focalizzarsi.
Ci si è arrivati ugualmente a scoprire che l'assioma è falso. E di brutto.

La macchinetta qui sotto illustra il punto (cliccando sull'equazione).
Mettete in input un numero a vostra scelta e osservate l'output (che corrisponde semplicemente al calcolo dell'equazione deterministica riportata qui sotto - si chiama Equazione Logistica): potete calcolare il risultato voi stessi con un foglio di calcolo o con carta e matita.


Simulazione Equazione Logistica
Inserite in input un valore fra 1.000 e 3.000 e tutto va liscio.
Inserite un valore fra 3.000 e 3.999 e progressivamente il diavolo prende possesso della nostra macchinetta1.
Un sistema deterministico che si comporta (ma non sempre) in modo non-deterministico. Voilà.




Documentario della BBC sul Caos


Attenzione ad alcuni passaggi, per esempio a ~7:00 si menziona brevemente la proprietà di taluni insiemi di auto-organizzarsi (in modo ordinato).
Questa scoperta attacca uno dei pregiudizi più fortemente radicati (in primo luogo nel cuore stesso della scienza), utilizzati per secoli a 'dimostrazione' (sic!) dell'esistenza di una intelligenza superiore.
Tale superstizione è fondata su una concezione della scienza nella quale non c'è posto per il concetto di finalità.
Il concetto di finalità è, secondo tale superstizione, al di fuori della scienza. La scienza è determinismo, casualità, prevedibilità: il modello delle equazioni differenziali.
Fu così che il povero Lamarck ebbe la peggio contro Darwin.
È così che la risposta ridicola del darwinismo alla questione cruciale di ogni teoria dell'evoluzione - come si produce il cambiamento - (risposta che consiste nel dire: boh, per caso, per errore, non è voluto, è un 'glitch' nel sistema) è stata da sempre considerata una risposta scientificamente legittima e sensata (sic!).
Una serie di scoperte recenti ci faranno avanzare al di fuori di questo pantano intellettuale.





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1 macchinetta che è opera dell'ineffabile gertdelpozzo, che ringraziamo ancora una volta di cuore.


Altri links: morfogenesi, Belousov, reazione di Belousov–Zhabotinsky, Turing, Mandelbrot, Ilya Prigogine, intervista Prigogine.

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Commenti
Inviato: 11/3/2012 9:52  Aggiornato: 11/3/2012 9:53
Autore: fulmini

Grande post, Venises.

La critica alla scienza (fisica e naturale) intesa come "determinismo, casualità, prevedibilità" mi ha convinto e commosso.

Da qualche decennio sto lavorando, con Luis (Razeto), a una critica della scienza storica e sociale data, intesa ancora dalla maggioranza dei sociologi e marxisti e via elencando, parimenti come "determinismo, casualità, prevedibilità". (La scienza storica e sociale si è modellata fin dalle origini sulla scienza fisica e naturale.)

Ecco di seguito, in particolare, per i lettori interessati a questioni del genere, un capitolo - di un libro pubblicato inutilmente nel 1978 - intitolato Critica delle leggi storiche, economiche, statistiche.

Pasquale Misuraca
Inviato: 11/3/2012 18:17  Aggiornato: 11/3/2012 19:12
Autore: Ivan

Invece, io non sono convinto.

In particolare, non credo che l’esempio dell’equazione logistica neghi questa affermazione:
“una macchina deterministica produrrà risultati deterministici.”. Per cominciare, cos’è una “macchina deterministica”?


Diciamo che abbiamo una “scatola” in cui mettiamo le condizioni iniziali e da cui esce un’evoluzione nel tempo, una dinamica. Se l’evoluzione può essere prevista per ogni tempo, a partire dalle sole condizioni iniziali, parleremo di comportamento deterministico e di macchina deterministica. Se questo non succede, parleremo di comportamento e di macchina non deterministici. Osserviamo, prima di andare avanti, che una macchina deterministica produce per definizione risultati deterministici. Ma allora che ne è dell’affermazione “una macchina deterministica produrrà risultati deterministici.”, è un’ovvietà, una tautologia!? Infatti. Un po’ di pazienza.

Facciamo prima un paio di stupidissimi esempi.
Poniamo di avere un uomo su una pista rettilinea e che gli sia permesso soltanto fare dei passi avanti o dei passi indietro. Diciamo che ci interessa la sua posizione ad ogni secondo da un tempo fissato. In breve, vogliamo conoscere la dinamica.
Prendiamo ora due scatole così fatte:

La “scatola 1” contiene un foglietto con l’istruzione: “fa’ un passo avanti”.

La “scatola 2” contiene un foglietto e una moneta. Il foglietto recita “lancia la moneta. Se esce testa, fa’ un passo avanti. Altrimenti, fa’ un passo indietro.”

Se il nostro uomo interroga ogni volta la scatola 1, sappiamo con esattezza che dopo tre secondi egli si troverà tre passi avanti rispetto alla posizione iniziale. Dopo un numero “n” secondi, egli sarà un ugual numero “n” di passi avanti rispetto alla posizione iniziale. Conoscere la posizione iniziale è tutto ciò che serve per conoscere la dinamica ad ogni tempo. Cioè, La scatola 1 è una macchina deterministica.
Se, invece, l’uomo utilizza ogni volta la scatola 2, poiché l’esito della moneta è incerto, non potremo conoscere in anticipo la sua posizione esatta. (In effetti, si potrebbe associare ad ogni posizione una probabilità, ovvero essere più o meno fiduciosi che egli si trovi in una data posizione a un tempo dato, ma non potremmo esserne sicuri prima di averla osservata.) In breve, non è possibile prevedere la dinamica dalla sola posizione iniziale e la “scatola 2” è una macchina non deterministica.

Passiamo all’equazione logistica, che riscrivo per comodità.

x[n+1]=r* x[n]*(1- x[n])

Se vogliamo, possiamo pensare a x[n] come alla posizione di un punto al tempo “n”. Non è molto diverso dal caso dell’uomo che cammina sulla pista. Anche qui misuriamo la distanza da una posizione di riferimento. L’unica differenza è che non misuriamo in passi, ma in un altro modo. Se si vuole, ancora, x[n] potrebbe essere la distanza in metri da un punto fissato, misurata a n secondi dall’inizio.
Se fissiamo r=1 e diciamo che partiamo dalla posizione x[0]=0.5, otteniamo:

x[1]= 1* x[0]*(1- x[0])=1*0.5*(1-0,5)=0.5*0.5=0.25.
Il trucco qual è?
Se conosco la posizione x[n] al tempo n, posso sostituirla nell’equazione

x[n+1]=r* x[n]*(1- x[n])


e trovare la posizione x[n+1] al tempo n+1.
Così da x[0] posso trovare x[1], da x[1] posso trovare x[2], da x[2] trovo x[3], …

(Con i valori scelti per “r” e “x[0]”, ad esempio, si ottiene x[0]=0.5, x[1]=0.25, x[2]=…)

Non c’è bisogno di farsi intimorire dai numeri. Il succo è che se si conoscono le condizioni iniziali, cioè i valori di “r” e di “x[0]”, si conosce tutta la dinamica. L’equazione logistica è quindi una macchina deterministica!!!
Ok, e allora?
Allora, l’idea è di giocare con le condizioni iniziali. Come variano le cose al variare di r e di x[0]? Per cominciare, proviamo a tenere fermo x[0]=0.5 e cambiare “r”. Questo è il gioco proposto da Venises. L’autore, suggerisce:

“Inserite in input un valore fra 1.000 e 3.000 e tutto va liscio.
Inserite un valore fra 3.000 e 3.999 e progressivamente il diavolo prende possesso della nostra macchinetta.”


[Io ho provato con i valori seguenti e vi descrivo ciò che ho visto:

r=1, una curva liscia parte da 0.5 al tempo 0 e si appiattisce sullo zero all’aumentare del tempo;

r=1.5, curva liscia parte da 0.5 al tempo 0 e si appiattisce su un valore all’aumentare del tempo (per i curiosi il valore è 1/3=0,333…);

r=2, la curva è una retta orizzontale alla quota costante 0.5;

r=2.5, curva spigolosa che parte da 0.5, oscilla un po’ e si stabilizza su un valore (3/5=0,6, se interessa);

r=3, curva spigolosa che parte da 0.5, oscilla e sembra stabilizzarsi su un valore (2/3=0,666…);

r=3.5, curva spigolosa che parte da 0.5 e oscilla indefinitamente tra quattro valori;

r=4, curva spigolosa che parte da 0.5 e si stabilizza a zero.]


Che significa che “il diavolo si impossessa della macchina”? Quello che possiamo osservare è che
se si cambiano le condizioni iniziali si ottengono dinamiche diverse, ma in nessun senso una di esse può essere definita “meno deterministica” di un’altra.
Si ripensi al caso dell’uomo sulla pista che si muove interrogando la scatola deterministica. Se il foglietto nella scatola recitasse invece di “fa’ un passo avanti”, “fa’ due passi avanti” oppure “alterna tra “fa’ due passi avanti” e “fa’ un passo indietro””, la dinamica sarebbe ancora deterministica. Non è importante quanto “complicata” appaia la dinamica ad un osservatore, purché rimanga deterministica.
Nel caso in esame, non importa quale “r” si scelga, data la posizione iniziale x[0]=0,5 posso sempre ottenere con certezza il valore x[n], a qualsiasi tempo n.

Sì, d’accordo ma allora cosa c’è di strano? In effetti, qualcosa di strano c’è. Per vederlo però, bisogna fissare un valore di “r” e vedere che cosa succede facendo variare la posizione iniziale x[0]. In particolare, cosa succede facendo variare di poco x[0]. Se invece di partire da 0,5, partissi da 0,6? E se partissi da 0.51?


Quello che si scopre è che esistono valori del parametro “r” (per i curiosi, approssimativamente tra 3.5699 e 3.8284), per cui una piccola variazione nella posizione iniziale conduce a un drastico cambiamento della dinamica. Un comportamento simile si definisce “caos deterministico”.

La frase da cui siamo partiti (la sua negazione, per i più attenti) dovrebbe essere allora:

“una macchina deterministica può produrre risultati caotici.”

Precisiamo: “caotico” non vuol dire “non deterministico”. La parola “caos” in questo contesto ha un significato ben preciso e diverso da quello ordinario di “disordine, imprevedibilità”. Per questo motivo si parla di “caos deterministico”.
La definizione rigorosa di “caos deterministico” comporta tra le altre cose una sensibilità alle condizioni iniziali, cioè a piccole variazioni nelle condizioni iniziali corrispondono differenze apprezzabili nelle rispettive dinamiche. La nozione di “differenza” tra due dinamiche rischia di rimanere piuttosto vaga. Spero di chiarire riprendendo gli esempi familiari.


1) L’uomo sulla pista che interroga la scatola deterministica è esempio di un sistema deterministico non caotico.
Per capirlo, affianchiamo al nostro uomo sulla pista un altro uomo su una pista parallela. Se il secondo uomo parte con un vantaggio di cinque passi rispetto al primo ed entrambi si muovono facendo un passo avanti ogni secondo, essi si manterranno ad una distanza costante (5 passi appunto), per tutto il tempo.
In simboli, la condizione iniziale per il primo uomo è x[0]=0, quella per il secondo x’[0]=5 e la differenza x’[n]-x[n]=5 per ogni n.
Se si vuole rendere tale differenza piccola, basta rendere piccolo il vantaggio iniziale. Una variazione piccola nelle condizioni iniziali si mantiene piccola nella dinamica. Niente caos.

2) Per l’equazione logistica la faccenda è più complicata. Invece di misurare la distanza ad ogni tempo, osserviamo cosa succede per tempi grandi partendo da diverse condizioni iniziali. Se c’è ancora qualcuno che sta leggendo, chiedo a lui/lei un ultimo piccolo sforzo.
Abbiamo visto che dato x[0], posso ottenere x[1], da x[1] ottengo x[2] e così via, ottenendo in generale x[n] per ogni numero “n” . Una domanda lecita è: che succede quando aumenta “n”?
Intuitivamente, possono succedere più cose:

a) il valore x[n] può stabilizzarsi intorno a un certo valore e avvicinarvisi sempre di più man mano che n aumenta;
b) il valore x[n] può oscillare su certi valori senza stabilizzarsi mai;
c) possono accadere cose più difficili da descrivere.

L’idea è di vedere in quale di questi casi rientra la dinamica prevista dall’equazione logistica, al variare della condizione iniziale x[0]. In particolare, è vero che se si varia di poco x[0], la dinamica rimane dello stesso tipo? Se avevo una dinamica di tipo a) e cambio di poco x[0], la dinamica che ottengo è ancora di tipo a)? E se questo succede, x[n] continua ad avvicinarsi allo stesso valore di prima?
La risposta a tutte queste domande è in generale un sonoro NO! L’equazione logistica è (per alcuni valori di “r”) sensibile alle condizioni iniziali, è cioè un sistema deterministico caotico.

In definitiva, è vero che “una macchina deterministica può produrre risultati caotici.”.


Che cosa significa questo per il “carattere predittivo” della scienza moderna? È questa una condanna del determinismo?
Per cominciare, per uno scienziato moderno l’applicazione di un modello deterministico per tentare di spiegare un fenomeno, non sottende l’idea che il mondo sia deterministico.
Uno scienziato genuino è un curioso che davanti a un fenomeno si chiede “cosa succederebbe se…? Quali nuovi fenomeni dovrei aspettarmi se supponessi che…”. In alcuni casi, un modello deterministico funziona egregiamente, in altri meno e ci si può chiedere il perché, eventualmente cercando un modello migliore. Ciò non vuol dire non avere idee sul mondo, ciò vuol dire essere pronti a cambiare le proprie idee sul mondo se il mondo ti smentisce.
La scelta, in alcuni casi, di un modello non deterministico, che faccia quindi uso di probabilità a un livello o a un altro, non mette in discussione il carattere predittivo della scienza. Senza predizioni non c’è niente da falsificare, e quindi alcunché di scientifico. E’ ovviamente possibile richiedere alle previsioni un carattere diverso e rifiutare modelli probabilistici. Si può fare. In fondo, si può giocare a qualsiasi gioco di cui si accettino le regole.

Se si sceglie un modello deterministico, possono succedere due cose (non mutuamente esclusive):

-la teoria prevede che è impossibile determinare con precisione arbitraria le condizioni iniziali (è quanto avviene in meccanica quantistica)

-il sistema deterministico è caotico. La dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali fa si che una piccola incertezza nella misurazione delle condizioni iniziali, per quanto piccola, produca una grande incertezza nelle dinamiche che ne risultano.
Ciò, fornisce, in breve, il ponte, tra i due significati di caos, quello tecnico di “caos deterministico” e quello di “imprevedibilità”. Poniamo che il dato iniziale appartenga a un certo intervallo di valori e consideriamo le dinamiche corrispondenti a ciascuno di essi (potenzialmente diversissime tra loro). Come possiamo prevedere quale dinamica corrisponde al nostro dato iniziale?
E’ questo anche il motivo per cui il tempo atmosferico rimane un interessante argomento di conversazione. Possiamo tirare un sospiro di sollievo.



[Ho completamente omesso di discutere la seconda parte di questo “legame”, ma è un contributo già troppo lungo. Mi fermo qui. Interessante e stimolante post, Venises!]
Inviato: 12/3/2012 8:58  Aggiornato: 13/3/2012 12:03
Autore: venises

Innanzitutto ringraziamo Ivan per il commento.
In assenza di commenti non si sa bene per chi si scrive e se ne è valsa la pena (noi lo sappiamo, noi scriviamo sempre per la nostra lettrice ideale, dunque ne vale sempre la pena).

Non proviamo a replicare ad Ivan, innanzitutto perché non sappiamo dire se ci sia nulla da replicare, secondo poi perché non crediamo che l'autore debba prevaricare i lettori ed i loro commenti.
Se non siamo stati capaci d'andare a segno col primo colpo, perché sprecarne un secondo?

Precisiamo però un punto "metodologico".
Ivan spende non poche righe per distinguere fra coefficienti e condizioni iniziali: precisiamo che anche noi siamo d'accordo con ciò che dice.
I nostri post (questo è vero anche per quelli "musicali") hanno l'obiettivo di scuotere i pregiudizi e risvegliare l'attenzione, non hanno l'ambizione d'essere dei saggi. Ricorriamo dunque spesso - in nome della brevità - a semplificazioni e imprecisioni (succede anche nelle "briciole"; ma succede anche nel documentario citato della BBC, per esempio ).
Quando lo facciamo, riteniamo che non invalidino l'argomentazione: i lettori più avvertiti possono ovviamente vederla diversamente.

Concludiamo congratulandoci con Ivan per aver inoltre notato che la seconda parte del post parla di un argomento differente.
Collegato, ma differente.
È bello scoprire che la razza dei lettori attenti non è estinta.
Inviato: 15/3/2012 17:41  Aggiornato: 15/3/2012 17:41
Autore: nefeli

E adesso come faccio a dormire la notte? (Nefeli)
Inviato: 15/3/2012 20:14  Aggiornato: 18/3/2012 13:17
Ho pensato un po’ alla “lettrice ideale”, che si può dire? Su una nota più leggera, rimango combattuto. Spiego meglio.
C’è una frase famosa che dice: “Ogni cosa dovrebbe essere resa più semplice possibile, ma non più semplice” (di quanto sia) (“Everything should be made as simple as possible, but non simpler.”).
Un’altra frase famosa dice che “non hai veramente capito qualcosa a meno che tu sappia spiegarla a tua nonna.”
Il legame è lo stesso: da cose semplici, cose complicate (o complesse).
Inviato: 16/6/2012 15:21  Aggiornato: 17/6/2012 11:44
Autore: venises

La meteorologia il dominio del caos per eccellenza? (Ricordate l'effetto farfalla?)
Ma come, se proprio nel caso della meteorologia si parla di previsioni.
Cosa ne è allora delle previsioni meteorogiche?
Come mai funzionano così bene? Come mai la loro accuratezza è migliorata in modo impressionante negli ultimi 30 anni? O non è così?

Proviamo a portare un po' di chiarezza.
Produrre delle previsioni meteorogiche non consiste in "prevedere" se domani pioverà (per quello ci sono gli sciamani), ma consiste nello stimare la probabilità che un certo numero di variabili geofisiche assumano valori compresi entro certi intervalli, in funzione del tempo futuro.
Le metodologie, e persino le istituzioni, che si occupano delle previsioni meteorologiche a breve o a medio termine, sono diverse.
Le previsioni meteorologiche sono importanti, per esempio, per le società che distribuiscono energia: esse utilizzano questa informazione per guidare la loro azione nel comprare energia sui mercati o semplicemente comprare opzioni (futures) sull'acquisto futuro d'energia (il consumo d'energia fluttua in modo considerevole secondo le condizioni atmosferiche). Sono questo tipo di società i grandi fruitori delle previsioni meteorologiche, non noi con il dubbio se prendere con noi o no l'ombrello quando usciamo di casa.

In Europa, il centro d'eccellenza per le previsioni meteorologiche a medio termine (medio termine vuol dire da 3 a 6 giorni: attualmente stanno cercando d'espandere il loro mandato fino a 7 giorni, vent'anni fa arrivava sino a 5 giorni: non hanno diritto d'interessarsi a quelle a breve termine) è l'European Centre for Medium-Range Weather Forecast, ECMWF.
Un centro europeo. E cosa ne è allora dei vari servizi meteorologici nazionali? Non esistono più? Certo che esistono e loro si occupano delle previsioni a breve termine e delle previsioni locali. Inoltre sono proprio loro a sedere nel 'Consiglio d'Amministrazione' dell'istituzione europea. L'Europa, ancora una volta, collabora sì ma con riserva, mantiene in parallelo le capacità nazionali in un dominio spesso gestito dalle forze armate (come in Italia, per l'importanza che storicamente la capacità di prevedere le condizioni meteorologiche aveva in campo militare).

L'accuratezza crescente delle previsioni meteorologiche è dovuta principalmente a due fattori:
1) l'inclusione nei modelli atmosferici delle misure satellitari. È singolare notare - una dimostrazione eclatante dell'effetto farfalla - che l'impatto maggiore sull'accuratezza delle previsioni sull'Europa è stato dovuto non all'inserimento di dati misurati sui cieli sovrastanti l'Europa stessa, ma dall'acquisizione delle misure sull'emisfero meridionale, in particolare sopra gli oceani, cioè le zone che non erano osservate dai sistemi di misura terrestri prima dell'avvento dei satelliti - a dimostrazione che "tutto si tiene". E sapete chi più violentemente resistette all'utilizzazione dei dati satellitari nei loro modelli? Proprio i meteorologi, storicamente contenti di giocare con i loro modelli teorici incontaminati.
2) l'aumento di potenza dei sistemi di calcolo. Vent'anni fa ECMWF ospitava uno dei super-computers più potenti al mondo (di fabbricazione giapponese). Oggi, tre generazioni di super-computers più tardi, il loro sistema di calcolo (peraltro molto più potente dei precedenti) non figura nemmeno fra i primi 50 al mondo, la classifica essendo ormai dominata dalle istituzioni militari. I computer sono tornati ad essere di fabbricazione americana (assemblati in Cina), a testimonianza del declino del Giappone e dei mutati equilibri economici e tecnologici.

Insomma, come risolvono il problema della caoticità del sistema atmosferico i meteorologi? Se il sistema fosse lineare o quasi, basterebbe (come si faceva un tempo) inserire le misure sullo stato attuale dell'atmosfera nei modelli, quindi 'far girare' i modelli e calcolare lo stato futuro dell'atmosfera stessa. Ma visto che proprio questo sistema non funziona, allora come si fa?
Oggi ECMWF procede così. Inserisce le misure attuali nel modello e calcola lo stato futuro. Poi ripete questa operazione altre 50 volte, variando ogni volta di poco le condizioni iniziali misurate. I 51 stati ottenuti del sistema atmosferico sono considerati come un "campionamento" della funzione di probabilità in uscita.
Ovvero, ancora oggi, attacchiamo un problema non lineare con tecniche derivate dal mondo lineare - usando la forza che l'evoluzione tecnologica ci ha messo a disposizione.

Accidenti, ci siamo lasciati trasportare da cento questioni differenti, che commento caotico!

Inviato: 17/6/2012 6:15  Aggiornato: 17/6/2012 6:15
Autore: fulmini

Il commento l'ho capito, Venises, grazie. Un (aspirante) nonno.